많은 학생들에게 “분수의 나눗셈을 할 때 왜 나누는 수를 뒤집어서 곱하나요?”라고 물으면 대부분 “그냥, 그렇게 해야 답이 나오니까요.”, “그렇게 풀어야 한다고 공식처럼 외웠으니까요.” 또는 “잘 모르겠어요.”라고 답한다. 이러한 현상은 시간과 장소를 불문하고 지속적으로 나타난다. 왜 이러한 현상이 지속적으로 나타나고 있을까? 분수는 초등학교 수학에서 가장 이해하기 어려운 개념이다. 분수는 고도로 추상화되어 있으며 다양하고 복합적인 의미 즉, 전체-부분으로서의 의미, 측정으로서의 의미, 몫으로서의 의미, 비율로서의 의미, 연산자로서의 의미 등을 지니고 있기 때문이다. 따라서 이렇게 추상화되고 다양한 의미를 지닌 분수를 절차적으로만 지도해서는 학생들이 결코 그 의미를 이해하기 어려울 것이다. 

이제 학교 현장에서는 분수 지도에 있어 기존의 방법을 고수하기 보다는 새로운 관점으로 지도하여 학생들의 어려움을 덜어 줄 필요가 있다. 즉, 절차가 아닌 개념적 이해를 통한 지도가 이루어져야 한다. 이 책은 그러한 개념적 지도를 위한 좋은 방안을 제시해주고 있다. 이 책의 지은이 라몬(Lamom)은 분수를 이해하기 위해서는 먼저 덧셈적 사고에서 곱셈적 사고로의 발전이 필요하다고 강조하고 있다. 분수는 덧셈적 사고를 통해서는 이해하기 어려우므로 분수지도 이전에 곱셈적 사고를 발달시키는 활동들을 많이 제공해야한다는 것이다. 하지만 정작 학교 수업에서는 이를 간과하고 넘어갈 때가 많다. 

분수 학습 이전부터 곱셈적 사고를 증진시킬 수 있는 상황과 그러한 상황에 대한 논의도 이루어져야 할 것이다. 라몬은 분수 학습이 분할 활동에서 출발하여, 분수의 가장 기본적인 의미인 등분할이 —분수는 등분할을 통하여 수로 나타낸 것이기 때문에 — 분수 학습의 전반에 영향을 준다고 강조하고 있다. 또한 단위화를 강조하면서 단위화를 통하여 분수의 의미 이해 및 분수 연산을 개념적으로 할 수 있음을 활동들을 통하여 보여주고 있다. 

즉 그 동안의 수업에서 행해졌던 접근과는 다른 접근을 통하여 학생들에게 분수의 의미를 명확하게 이해할 수 있는 길을 제공해주고 있다. 이 책을 통하여 예비교사뿐만 아니라 수업 현장에서 교사들이 이러한 기초적이고 중요한 개념을 지도할 수 있는 능력을 배양하여 분수의 개념적인 이해를 지도하기 바란다. 또한 이를 통해 학생들은 분수의 의미를 절차적이기 보다는 개념적으로 이해하여 분수 연산도 할 수 있기를 기대해본다. 

-옮긴이 머리말-

제1장 비례 추론: 개요
1.1 들어가는 글 2
1.2 비례상수 3
1.3 추론: 기계화를 넘어서 4
1.4 불변과 공변 5
1.5 K를 이용하여 비율 해결하기 7
1.6 곱셈적 사고 9
1.7 강한 추론을 위한 주요 요소 10
1.8 시작하기 11
1.9 학생들 사고에 대한 분석 14
활동 16
 

제2장 분수와 유리수
2.1 새로운 단위와 새로운 기호 체계 24
2.2 단위의 심리 25
2.3 새로운 연산과 양 26
2.4 범자연수 개념에 대한 방해 27
2.5 용어의 문제 29
2.6 수 집합의 발달 30
2.7 분수의 종류 32
2.8 분수는 무엇인가? 32
2.9 유리수 33
2.10 수로서의 분수 34
2.11 분수, 비와 비율 35
2.12 의미에 대한 다양한 출처 36
2.13 분수 3/4에 대한 다양한 해석 37
활동 41
 

제3장 상대적 사고와 측정
3.1 변화에 대한 두 가지 시각 48
3.2 상대적 사고와 분수의 이해 50
3.3 곱셈적 사고 촉진하기 50
3.4 ‘더 많이’의 두 가지 의미 52
3.5 측정의 중요성 54
3.6 보상의 원리 55
3.7 근삿값의 원리 56
3.8 귀납 분할의 원리 57
3.9 더 추상적인 양의 측정 58
3.10 다른 전략 60
활동 64
 

제4장 양과 공변
4.1 학생의 비형식적 지식을 기반으로 75
4.2 수량화하지 않은 양 76
4.3 수량화할 수 있는 특징 79
4.4 그림 속 비례 관계를 토론하는 것 81
4.5 변하는 관계들을 시각화하고, 말로 표현하고, 기호화하기 83
4.6 공변과 불변 85
4.7 퀴즈네어 막대 87
4.8 배율 계수 89
4.9 닮음 90
4.10 간접 측정 95
4.11 닮음 판별 96
4.12 실물 크기의 모형과 통통한 사람 98
활동 101
 

제5장 비례 추론
5.1 단위 115
5.2 암시적으로 정의된 단위 118
5.3 다양한 종류의 단위 사용 119
5.4 상향식 추론과 하향식 추론 121
5.5 단위와 단위화 122
5.6 단위화 표기법 124
5.7 단위화 과정에서의 유연성 125
5.8 학생들의 생각 127
5.9 단위화를 촉진시켜주는 교실 활동 129
5.10 시각적인 활동들 129
5.11 비의 표로 추론하기 131
5.12 문제 유형 134
5.13 비 대조표 136
5.14 난이도 높이기 138
5.15 관계 분석 139
5.16 백분율 141
5.17 교수적 과제로서 백분율 142
5.18 백분율로 추론하기 143
활동 145
 

제6장 분수의 추론
6.1 연산의 시각화 161
6.2 동치분수와 단위화 163
6.3 분수 비교 164
6.4 분수와 분수 사이 169
활동 172
 

제7장 부분-전체 비교로서의 분수
7.1 부분-전체 분수: 중요 개념들 176
7.2 단위화와 동치 177
7.3 현재 교육의 문제점 179
7.4 분수 모델 180
7.5 분수 띠 181
7.6 부분-전체 분수 비교 182
7.7 이산 단위 184
7.8 곱셈 187
7.9 등분제와 포함제 188
7.10 나눗셈 189
7.11 또 다른 유리수 해석 192
활동 193
 

제8장 몫으로서의 분수
8.1 몫 206
8.2 정당한 몫으로서의 분할 207
8.3 분할 활동들 208
8.4 학생들의 분할 210
8.5 동치 213
8.6 약분을 해야 하는가? 214
8.7 몫으로서의 분수에 대한 이해 215
8.8 좀 더 진보된 추론 216
8.9 서로 다른 피자들을 분배하기 217
활동 221
 

제9장 연산자로서의 분수
9.1 연산자 230
9.2 교환 모델 233
9.3 합성 235
9.4 곱셈에 대한 넓이 모델 237
9.5 나눗셈에 대한 넓이 모델 240
9.6 합성과 종이 접기 242
9.7 연산자 이해하기 244
활동 245
 

제10장 측정으로서의 분수
10.1 거리의 측정 254
10.2 정적 측정과 동적 측정 254
10.3 연속 분할의 목표 256
10.4 측정으로서의 분수에 대한 이해 257
10.5 단위, 동치분수, 그리고 비교 259
10.6 분수 연산 261
활동 263
 

제11장 비와 비율
11.1 비는 무엇인가? 272
11.2 표기법과 용어사용 274
11.3 비에 대한 동치와 비교 275
11.4 지도 과제로서의 비 280
11.5 비율은 무엇인가? 284
11.6 비율과 비 조작 286
11.7 선형 그래프 286
11.8 비와 비율을 그래프로 비교하기 289
11.9 속력: 가장 중요한 비율 290
11.10 속력의 특징 292
11.11 학생들의 속력에 대한 오개념 293
11.12 평균속력 294
11.13 거리-속력-시간 그리고 그래프 296
활동 299
 

제12장 교수법의 변화
12.1 왜 변화해야 하는가? 309
12.2 분수 해석에 대한 요약 310
12.3 핵심적 구조 311
12.4 비례적 추론 능력자들의 특징 312
12.5 변화의 장벽들 314
12.6 연관 주제들 315
12.7 변화를 위한 지침 316
 

찾아보기 317

지은이
수전 라몬
마켓대학 수학, 통계 및 컴퓨터과학과 명예교수

 

옮긴이
이광호
한국교원대학 초등교육과 교수
 

김형원
한국교원대학 초등수학교육학 박사

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